Question

设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x^2-anx-an=0有一根为Sn-1

Answer 1

因为方程x^2-anx-an=0有一根为Sn-1

所以（Sn-1)^2-an*（Sn-1)-an=0

an=(Sn-1)^2/Sn

当n>=2时,有an=Sn-S(n-1)

Sn-S(n-1)=(Sn-1)^2/Sn

Sn^2-SnS(n-1)=Sn^2-2Sn+1

2Sn-SnS(n-1)=1

2Sn=SnS(n-1)+1

Sn-S(n-1)=SnS(n-1)-S(n-1)-Sn+1

Sn-S(n-1)=(Sn-1)(S(n-1)-1)

即[Sn-1]-[S(n-1)-1]=(Sn-1)(S(n-1)

即1/[S(n-1)-1]-1/[Sn-1]=1

1/[Sn-1]-1/[S(n-1)-1]=-1

所以数列{1/(Sn-1)}是以1/(S1-1)为首项,-1为公差的等差数列.

由（Sn-1)^2-an*（Sn-1)-an=0及S1=a1可求出S1

（Sn-1)^2-S1*（S1-1)-S1=0得S1=1/2

首项1/(S1-1)=1/（1-1/2）=2