Question

设a、b为实数,试求M=a^2+2ab+2b^2-4b+5的最小值,并求出此时a、b的值.

Answer 1

M=a^2+2ab+2b^2-4b+5

=(a^2+2ab+b^2)+(b^2-4b+4)+1

=(a+b)^2+(b-2)^2+1

因为(a+b)^2>=0,(b-2)^2>=0

所以(a+b)^2+(b-2)^2+1>=0

当(a+b)^2=0和(b-2)^2=0同时成立时取等号

此时b-2=0,b=2

a+b=0,a=-b=-2

所以a=-2,b=2时,最小值=1