(1)椭圆方程:y^2/a^2+x^2/b^2=1
由题意:椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为(0,2),知椭圆为焦点在y轴,且a=2,
又已知短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,所以a=√2 c,所以b^2=2,
所以,椭圆方程为:x^2/2+y^2/4=1;
(2)
由于P(0,m )为直线L 与Y 轴的交点,
因此直线斜率存在,且可设为:y=kx+m其中k≠0(否则无法满足A P=2向量 P B),不妨设A(x1.y1),B(x2,y2)
联立方程:
y=kx+m
x^2/2+y^2/4=1
消元得:(k^2+2)x^2+2kmx+m^2-4=0
∴△=4(km)^2-4(k^2+2)*(m^2-4)>0即2k^2-m^2+4>0………①
x1+x2=-2km/(k^2+2) ……………………………②
x1*x2=(m^2-4)/(k^2+2)…………………………③
又已知:向量A P=2向量 P B
∴(x1,y1-m)=2(x2,y2-m)
∴x1=2x2…………………………………………④
由…②…③…④式消x1、x2可得:k^2=(72-18m^2)/(m^2-36),把该式代入…①式并化简得:m^4-4m^2