已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线

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  • 解题思路:(1)由两圆相外切得到|MP|=1+r,由⊙N与⊙P内切 得到|NP|=3-r,从而有根据|MP|+|NP|=4>|MN|=2,椭圆的定义可得P点的轨迹是以N,M为焦点的椭圆,求出a、b2的值,即得C的方程.

    (2)求出直线的方程,代入椭圆方程中消去y,利用弦长公式求得|AB|的表达式,利用t的范围求得|AB|即可.

    (1)设点P(x,y),动圆P的半径为r,

    ∵⊙N与⊙P内切,∴|NP|=3-r,

    ∵⊙M与⊙P外切,∴|MP|=1+r,

    ∵|MP|+|NP|=4>|MN|=2,

    ∴P点的轨迹是以M,N为焦点的椭圆.|MP|+|NP|=4=2a,∴a=2,

    ∵|MN|=2c=2,c=1,

    ∴b2=a2-c2=3,

    ∴P的轨迹方程为:

    x2

    4+

    y2

    3=1.

    (2)直线l的方程为y=2x-2,代入

    x2

    4+

    y2

    3=1,消去y得19x2-32x+2=0,

    x1+x2=[32/19],x1•x2=[2/19].

    ∴|AB|=

    1+22•

    (

    32

    19)2−4(

    2

    19)=

    5•

    872

    19=

    2

    1090

    19.

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程;圆与圆的位置关系及其判定.

    考点点评: 本题主要考查了椭圆的应用,直线与椭圆的关系.弦长的求法常需要把直线与椭圆方程联立,考查分析问题解决问题的能力.