先整形
4x²+y²+xy = (2x+1/4 *y)² +15/16 * y²
再换元
令
u = 2x + 1/4 *y
v = √15 /4 *y
2x+y = 2x+ 1/4*y + 3/4 *y = u + 3/4 * 4/√15 * v= u + √(3/5) *v
即在UoV坐标系求 圆 C: u² + v² = 1上的动点 (m, n), m + √(3/5) *n 的最大值
所以点 (m, n)
是下面方程组的解
u + √(3/5) *v = k
u² + v² = 1
k为所求最大值
代入v
u² + v² =u² + ((k-u)/√(3/5))²
= u² +5/3 *(k² -2ku+ u²)
=1
所以
8/3 u² -10/3 ku + 5/3 k² -1 =0
最大值u只有一个解,直线u + √(3/5) *v = k,跟圆相切
delta = （10/3 k）² -4 *8/3 *(5/3 k² -1) =0
再化简
5 k² = 8
k = +/- 2√10 / 5
舍去负值
k = 2√10 / 5