已知函数f(x)=ke x -x 2 (其中k∈R,e是自然对数的底数).

1个回答

  • (Ⅰ)由f′(x)=ke x-2x可知,

    当k<0时,由于x∈(0,+∞),f′(x)=ke x-2x<0,

    故函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.

    (Ⅱ)当k=2时,f(x)=2e x-x 2,则f′(x)=2e x-2x,

    令h(x)=2e x-2x,h′(x)=2e x-2,

    由于x∈(0,+∞),故h′(x)=2e x-2>0,

    于是h(x)=2e x-2x在(0,+∞)为增函数,

    所以h(x)=2e x-2x>h(0)=2>0,即f′(x)=2e x-2x>0在(0,+∞)恒成立,

    从而f(x)=2e x-x 2在(0,+∞)为增函数,

    故f(x)=2e x-x 2>f(0)=2.

    (Ⅲ)函数f(x)有两个极值点x 1,x 2,则x 1,x 2是f′(x)=ke x-2x=0的两个根,

    即方程 k=

    2x

    e x 有两个根,设 φ(x)=

    2x

    e x ,则 φ′(x)=

    2-2x

    e x ,

    当x<0时,φ′(x)>0,函数φ(x)单调递增且φ(x)<0;

    当0<x<1时,φ′(x)>0,函数φ(x)单调递增且φ(x)>0;

    当x>1时,φ′(x)<0,函数φ(x)单调递减且φ(x)>0.

    要使 k=

    2x

    e x 有两个根,只需 0<k<φ(1)=

    2

    e .

    故实数k的取值范围是 (0,

    2

    e ) .

    又由上可知函数f(x)的两个极值点x 1,x 2满足0<x 1<1<x 2

    由 f′( x 1 )=k e x 1 -2 x 1 =0 ,得 k=

    2 x 1

    e x 1 ,

    ∴ f( x 1 )=k e x 1 -

    x 21 =

    2 x 1

    e x 1 e x 1 -

    x 21 = x 1 (2- x 1 )=-

    x 21 +2 x 1 =-( x 1 -1 ) 2 +1 ,

    由于x 1∈(0,1),故 0<-( x 1 -1 ) 2 +1<1 ,

    所以0<f(x 1)<1.