(Ⅰ)由f′(x)=ke x-2x可知,
当k<0时,由于x∈(0,+∞),f′(x)=ke x-2x<0,
故函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
(Ⅱ)当k=2时,f(x)=2e x-x 2,则f′(x)=2e x-2x,
令h(x)=2e x-2x,h′(x)=2e x-2,
由于x∈(0,+∞),故h′(x)=2e x-2>0,
于是h(x)=2e x-2x在(0,+∞)为增函数,
所以h(x)=2e x-2x>h(0)=2>0,即f′(x)=2e x-2x>0在(0,+∞)恒成立,
从而f(x)=2e x-x 2在(0,+∞)为增函数,
故f(x)=2e x-x 2>f(0)=2.
(Ⅲ)函数f(x)有两个极值点x 1,x 2,则x 1,x 2是f′(x)=ke x-2x=0的两个根,
即方程 k=
2x
e x 有两个根,设 φ(x)=
2x
e x ,则 φ′(x)=
2-2x
e x ,
当x<0时,φ′(x)>0,函数φ(x)单调递增且φ(x)<0;
当0<x<1时,φ′(x)>0,函数φ(x)单调递增且φ(x)>0;
当x>1时,φ′(x)<0,函数φ(x)单调递减且φ(x)>0.
要使 k=
2x
e x 有两个根,只需 0<k<φ(1)=
2
e .
故实数k的取值范围是 (0,
2
e ) .
又由上可知函数f(x)的两个极值点x 1,x 2满足0<x 1<1<x 2,
由 f′( x 1 )=k e x 1 -2 x 1 =0 ,得 k=
2 x 1
e x 1 ,
∴ f( x 1 )=k e x 1 -
x 21 =
2 x 1
e x 1 e x 1 -
x 21 = x 1 (2- x 1 )=-
x 21 +2 x 1 =-( x 1 -1 ) 2 +1 ,
由于x 1∈(0,1),故 0<-( x 1 -1 ) 2 +1<1 ,
所以0<f(x 1)<1.