集合的势在集合论中通常更愿意说成基数（cardinal）,基数是由所谓序数（ordinal）定义的,如果你想系统的了解这方面的知识,可以看一看集合论方面的教材,推荐一本Thomas Jech写的Set Theory
看你的Id,你是北邮的吧?你可以来师大听一下施翔晖老师的集合论,只要他在,每年都会开.
你的问题我只能解答个别,因为好久没接触了.
实数集的势是阿列夫1
自然数集*自然数集的势还是阿列夫0,这个你可以想一下有理数的排列,把有理数写成分数形式,也就是p/q的形式,可以把有理数集一个个排列出来,1/1,1/2,2/1,1/3,2/2,3/1,……
这个排列和N*N的排列是一样的,也就是说,可以找一个N*N到N的一一映射,那么N*N与N等势.关于有理数的排列,你要是不清楚可以看一看实变函数方面的教材.