在△ABC中,AB=AC,点D在直线BC上(不与点B,C重合).

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  • 解题思路:(1)分类讨论:当点D在线段BC上,如图1(a),根据旋转的性质得AD=AE,再由∠DAE=∠BAC得到∠BAD=∠CAE,则可根据“SAS”判定△ABD≌△ACE,得到∠ABC=∠ACE,而∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC,∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°,于是得到∠BCE+∠ABC=180°;当点D在BC的延长线上,如图1(b),同样可证明△ABD≌△ACE,得到∠ABD=∠ACE,同样可得∠BCE+∠ABC=180°;当点D在CB的延长线上,如图1(c),同样可证明△ABD≌△ACE,得到∠ABD=∠ACE,根据三角形外角性质得∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠ACB+∠BCE,所以∠BCE=∠BAC;综上所述,∠BCE与∠BAC相等或互补;(2)分类讨论:当点D在线段BC上,如图2(a),利用”SAS”证明△ACD≌△ABE,得到∠ACD=∠ABE,由三角形外角性质得∠EBC=∠ABE+∠ABC,则∠EBC=∠ABC+∠ACB,而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°,所以∠EBC+∠BAC=180°;当点D在BC的延长线上,如图2(b),同样可证明△ABE≌△ACD,得到∠ABE=∠ACD,根据三角形外角性质得∠ABE=∠ABC+∠EBC,∠ACD=∠ABC+∠BAC,所以∠EBC=∠BAC;当点D在CB的延长线上,如图2(c),同样可证明△ABE≌△ACD,得到∠ABE=∠ACD,同样得到∠EBC+∠BAC=180°.综上所述,∠EBC与∠BAC相等或互补.

    (1)∠BCE与∠BAC相等或互补.理由如下:

    当点D在线段BC上,如图1(a),

    ∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转得到AE,

    ∴AD=AE,

    ∵∠DAE=∠BAC,

    ∴∠BAD=∠CAE,

    在△ABD和△ACE中

    AB=AC

    ∠BAD=∠CAE

    AD=AE,

    ∴△ABD≌△ACE(sas),

    ∴∠ABC=∠ACE,

    ∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC,

    而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°

    ∴∠BCE+∠ABC=180°;

    当点D在BC的延长线上,如图1(b),

    同样可证明△ABD≌△ACE,得到∠ABD=∠ACE,

    同样得到∠BCE+∠ABC=180°;

    当点D在CB的延长线上,如图1(c),

    同样可证明△ABD≌△ACE,得到∠ABD=∠ACE,

    ∵∠ABD=∠BAC+∠ACB,∠ACE=∠ACB+∠BCE,

    ∴∠BCE=∠BAC;

    综上所述,∠BCE与∠BAC相等或互补;

    (2)∠EBC与∠BAC相等或互补.理由如下:

    当点D在线段BC上,如图2(a),

    ∵∠DAE=∠BAC,

    ∴∠CAD=∠BAE,

    在△ACD和△ABE中,

    AC=AB

    ∠CAD=∠BAE

    AD=AE,

    ∴△ACD≌△ABE(SAS),

    ∴∠ACD=∠ABE,

    ∵∠EBC=∠ABE+∠ABC,

    ∴∠EBC=∠ABC+∠ACB,

    而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°

    ∴∠EBC+∠BAC=180°;

    当点D在BC的延长线上,如图2(b),

    同样可证明△ABE≌△ACD,得到∠ABE=∠ACD,

    ∵∠ABE=∠ABC+∠EBC,∠ACD=∠ABC+∠BAC,

    ∴∠EBC=∠BAC;

    当点D在CB的延长线上,如图2(c),

    同样可证明△ABE≌△ACD,得到∠ABE=∠ACD,

    ∵∠EBC=∠ABE+∠ABC,

    ∴∠EBC=∠ABC+∠ACB,

    而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°

    ∴∠EBC+∠BAC=180°.

    综上所述,∠EBC与∠BAC相等或互补.

    点评:

    本题考点: 旋转的性质.

    考点点评: 本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质.