三角形ABC为等边三角形,延长 BC到 D ,延长BA 到E,使AE=BD ,连结CE 、DE 求证:EC=ED.

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  • 分析:证明线段相等目前有通过证明“三角形全等”和“等角对等边”两个主要的方法,而在有关线段的条件较多的情况下,考虑全等思路可能好一些,另外,可用递推法进行分析,即:若有EC=ED就应有分别以EC、ED为一边的两个三角形全等,再看EC即三角形EBC的一条边(又是三角形EAC的一条边),由此需要找一个(或构造一个) 以ED为边的三角形,并且此三角形要有可能与三角形EBC全等,由此辅助线就不再是盲目的事情.

    证明:(方法一)延长CD到F,使DF=BC,连结EF

    ∵AE=BD

    ∴AE=CF

    ∵DABC为正三角形

    ∴BE=BF 角B=60°

    ∴DEBF为等边三角形

    ∴角F=60° EF=EB

    在DEBC和DEFD中

    EB=EF(已证)

    角B=角F(已证)

    BC=DF(已作)

    ∴三角形EBC≌三角形EFD (SAS)

    ∴EC=ED (全等三角形对应边相等)

    (方法二)过D作DF‖AC交AE于F

    ∴角1=角2 (两直线平行,同位角相等)

    ∴角3=角4=60°

    ∵三角形ABC为等边三角形

    ∴角B=60°

    ∴三角形FBD为等边三角形

    ∴FD=BD

    ∵BD=AE

    ∴AE=FD

    ∴BF=BD=AE

    ∴BF=AE

    ∴BF-AF=AE-AF (等量减等量差相等)

    ∴AB=EF ∴EF=AC

    在三角形EAC和三角形DFE中

    AE=FD(已证)

    角1=角2(已证)

    AC=EF(已证)

    ∴三角形EAC≌三角形DFE

    ∴EC=ED (全等三角形对应边相等)

    (方法三):过E作EH⊥BD于H

    (方法四):过E作EH‖BD交CA延长线于H