Question

已知函数f（x）=lnx+[1/x]+ax，x∈（0，+∞） （a为实常数）．

Answer 1

解（1）a=0时，f′（x）=

x−1

x2

当0＜x＜1时f′（x）＜0，当x＞1时f′（x）＞0，

∴f（x）_min=1

（2）f′（x）=

1/x−

1

x2+a＝

ax2+x−1

x2]

当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求；

当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零

故△=1+4a≤0或

1+4a＞0

g(2)≤0

−

1

2a≤2，解得：a≤−

1

4

∴a的取值范围是（-∞，−

1

4]∪[0，+∞）

（3）反证法：假设x₁=b＞1，由（1）知，

∴ln

xn

b+

b

xn≥1＞lnx_n+

1

xn+1，∴

b

xn＞lnb+

1

xn+1，（n∈N^*），

∴故1＝

b

x1＞lnb+

1

x2＞ lnb+

1

b(lnb+

1

x3)…＞(1+

1

b+

1

b2+…)lnb=