在数学中,一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数,在其中所有变量都允许变化）.偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的.
在一元函数中,我们已经知道导数就是函数的变化率.对于二元函数我们同样要研究它的“变化率”.然而,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多.
在xOy平面内,当动点由P(x0,y0)沿不同方向变化时,函数f(x,y)的变化快慢一般说来是不同的,因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率.
在这里我们只学习函数f(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时,f(x,y)的变化率.
偏导数的算子符号为:∂.
偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率.
x方向的偏导
设有二元函数z=f(x,y),点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x,相应地
偏导数
函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0).
如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在,那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数(partial derivative).记作f'x(x0,y0).
函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数,实际上就是把y固定在y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)
偏导数
在x0处的导数
同样,把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限存在那么此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.记作f'y(x0,y0)
表示固定面上一点的切线斜率
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偏导数f'x(x0,y0)表示固定面上一点对x轴的切线斜率；偏导数f'y(x0,y0)表示固定面上一点对y轴的切线斜率.
高阶偏导数：如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导,那么这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数.
二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx,f"xy,f"yx,f"yy.
注意：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导,然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy与f"yx都连续时,求导的结果与先后次序无关.