首先需要考虑以点C,C',P,Q为顶点的平行四边形有多少种情况?或者说满足什么条件即可说明以点C,C',P,Q为顶点可以构成平行四边形.
用向量的观点,以点C,C',P,Q为顶点可以构成平行四边形当且仅当向量CP=C'Q （CC'为一条边）或者 CP=-C’Q （CC'为对角线）
设C,C',A(x1,y1),B(x2,y2)为平行四边形,注意C,C'坐标C(0,-m),C'(2,-m),分情况讨论则有
(1),CA=C'B,也即(x1,y1+m)=(x2-2,y2+m)
(a),A=P,B=Q,
y1=(x1)^2-2*x1-m
x2=1
又
(x1,y1+m)=(x2-2,y2+m)
解得：P(-1,3-m),Q(1,3-m)
(b),A=Q,B=P,
y2=(x2)^2-2*x2-m
x1=1
又
(x1,y1+m)=(x2-2,y2+m)
解得：P(3,3-m),Q(1,3-m)
(2)CA=-C'B,也即(x1,y1+m)=-(x2-2,y2+m)
(a),A=P,B=Q,
y1=(x1)^2-2*x1-m
x2=1
又
(x1,y1+m)=-(x2-2,y2+m)
解得：P(1,-1-m),Q(1,1-m)
(b),A=Q,B=P,
y2=(x2)^2-2*x2-m
x1=1
又(x1,y1+m)=-(x2-2,y2+m)
解得：P(1,-1-m),Q(1,1-m)
综合可得,满足题设的P,Q有三对,分别是[P(-1,3-m),Q(1,3-m)],[P(3,3-m),Q(1,3-m)],[P(1,-1-m),Q(1,1-m)]
关于周长,(1)(a)和(1)(b)两种情况周长是相同的,
C'P=(3,3-m)-(2,-m)=(1,3),所以|C'P|=10^0.5,周长为4+2*10^0.5
情况(2)下平行四边形为菱形,两对角线长度均为2,可算得周长为4*2^0.5