Question

证明:设非线性函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则必有ξ∈(a,b) 满足

Answer 1

记k = (f(b)-f(a))/(b-a), 有f(a)-ka = f(b)-kb.

由f(x)非线性, 存在c ∈ (a,b), 使f(c) ≠ f(a)+k(c-a) = f(b)+k(c-b).

若f(c) > f(a)+k(c-a) = f(b)+k(c-b), 则有(f(c)-f(a))/(c-a) > k > (f(b)-f(c))/(b-c).

而若f(c) < f(a)+k(c-a) = f(b)+k(c-b), 则有(f(c)-f(a))/(c-a) < k < (f(b)-f(c))/(b-c).

因此在(f(c)-f(a))/(c-a)与(f(b)-f(c))/(b-c)之中, 至少有一个绝对值大于|k| = |(f(b)-f(a))/(b-a)|.

在相应的区间(a,c)或(c,b)上使用Lagrange中值定理,

即得存在ξ ∈ (a,b)使|f'(ξ)| > |(f(b)-f(a))/(b-a)|.