Question

已知函数f(x)＝2a−13x+1（a∈R）．

Answer 1

解题思路：（1）直接根据函数f（x）为奇函数，对应的f（-x）+f（x）=0恒成立即可求出a的值；

（2）直接根据对数函数的单调性以及对数的值域按单调性的证明过程即可得到结论．

（1）∵函数f（x）为奇函数，

∴f（-x）+f（x）=0，

即：(2a−

1

3−x+1)+(2a−

1

3x+1)＝0，

则有：4a−

3x

3−x3x+13x−

1

3x+1＝0，

即：4a−

3x+1

3x+1＝0，

∴4a-1=0，a＝

1

4；

（2）f（x）在R上是增函数，证明如下：

任取x₁，x₂∈R，且x₁2，
则f（x₁）-f（x₂）=(2a−
1
3x1+1)−(2a−
1
3x2+1)=
1
3x2+1−
1
3x1+1=
3x1−3x2
(3x1+1)(3x2+1)．
∵y=3^x在R上是增函数，且x₁2，
∴3x1<3x2，
即：3x1−3x2<0．
又3^x>0，
∴3x1+1>0，3x2+1>0，
∴f（x₁）-f（x₂）<0，
即：f（x₁）2），
故f（x）在R上是增函数．

点评：

本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题主要考察函数奇偶性与单调性的综合．解决问题的关键在于把问题转化为f（-x）+f（x）=0恒成立求出a的值．