Question

z是复数 1．z的平方的模和z的模的平方的值是否相等?2．z平方的共轭复数与z的共轭复数的平方是否相等?

Answer 1

这两个结论均正确.用复数的三角形式,这是两个明显的结论.

设z=r(cosθ+isinθ),则z²=r²(cos2θ+isin2θ)

(1)于是 |z²|=r²=|z|²

(2)z的共轭为r(cosθ-isinθ)=r[cos(-θ)+isin(-θ)]

z的共轭的平方为r²[cos(-2θ)+isin(-2θ)]=r²(cos2θ-isin2θ),

它就是z²=r²(cos2θ+isin2θ)的共轭.

注：如未学三角形式,用代数形式z=a+bi也可验证,不过稍微麻烦一点.