Question

已知圆C：（x-3） 2 +（y-4） 2 =4，直线l 1 过定点A（1，0）．

Answer 1

（Ⅰ）①若直线l ₁的斜率不存在，即直线x=1，符合题意．（2分）

②若直线l ₁斜率存在，设直线l ₁为y=k（x-1），即kx-y-k=0．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线l ₁的距离等于半径2，

即

|3k-4-k|

k 2 +1 =2 解之得 k=

3

4 ．

所求直线方程是x=1，3x-4y-3=0．（5分）

（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0

由

x+2y+2=0

kx-y-k=0 得 N(

2k-2

2k+1 ，-

3k

2k+1 ) 又直线CM与l ₁垂直，

y=kx-k

y-4=-

1

k (x-3) 得 M(

k 2 +4k+3

1+ k 2 ，

4 k 2 +2k

1+ k 2 ) ．

∴AM*AN=

2 |2k+1|

1+ k 2

1+ k 2 •

3

1+ k 2

|2k+1| =6 为定值．（10分）