Question

（2010•济南一模）已知：数列{an}的前n项和为Sn，a1=3且当n≥2n∈N+满足Sn-1是an与-3的等差中项．

Answer 1

解题思路：（1）根据等差数列的性质得出a_n=2S_n-1+3，然后代入即可求出a₂，a₃，a₄；

（2）由（1）知a_n=2S_n-1+3进而求出a_n+1=2S_n+3，然后两式相减得出a_n+1=3a_n，再验证a₂=3a₁也满足上式即可得出数列是以3为首项，3为公比的等比数列，得出通项公式．

（1）由题知，S_n-1是a_n与-3的等差中项．∴2S_n-1=a_n-3即a_n=2S_n-1+3（n≥2，n∈N^*）…（2分）

a2＝2S1+3＝2a1+3＝9

a3＝2S2+3＝2(a1+a2)+3＝27a₄=2S₃+3=2（a₁+a₂+a₃）+3=81…（6分）

（2）由a_n=2S_n-1+3（n≥2，n∈N^*）①a_n+1=2S_n+3（n∈N^*）②…（7分）

②-①得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n

即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*）③…（10分）∵a₂=3a₁也满足③式

即a_n+1=3a_n（n∈N^*）∴{a_n}是以3为首项，3为公比的等比数列．

∴a_n=3ⁿ（n∈N^*）…（12分）

点评：

本题考点： 等差数列的性质；数列的函数特性；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列的性质和综合应用，解题要认真审题，注意验证a2=3a1也满足上式．属于中档题．