（1）如图1所示，
（2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，
则直线EF、OM将正方形的面积四等份，
理由是：∵点O是正方形ABCD的对称中心，
∴AP=CQ，EB=DF，
在△AOP和△EOB中
∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，
∴∠AOP=∠BOE，
∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，
∴△AOP≌△EOB，
∴AP=BE=DF=CQ，
设O到正方形ABCD一边的距离是d，
则
1
2（AP+AE）d=
1
2（BE+BQ）d=
1
2（CQ+CF）d=
1
2（PD+DF）d，
∴S四边形AEOP=S四边形BEOC=S四边形CQOF=S四边形DPOF，
直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份；
（3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，
理由是：如图③，连接BP并延长交CD的延长线于点E，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠EDP，
∵在△ABP和△DEP中
∠A＝∠EDP
AP＝DP
∠APB＝∠DPE
∴△ABP≌△DEP（ASA），
∴BP=EP，
连接CP，
∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等，
又∵BP=EP，
∴S△BPC=S△EPC，
作PF⊥CD，PG⊥BC，则BC=AB+CD=DE+CD=CE，
由三角形面积公式得：PF=PG，
在CB上截取CQ=DE=AB=a，则S△CQP=S△DEP=S△ABP
∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP
即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ，
∵BC=AB+CD=a+b，
∴BQ=b，
∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．