Question

已知函数f（x）=x3-ax2+x+1，g（x）=f′（x），x∈R

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）证明：对任意a∈R，存在x₀∈R，使得f（x），g（x）的图象在x=x₀处的两条切线斜率相等；

（Ⅱ）根据函数的单调性和导数之间的关系，利用导数即可得到结论．

（Ⅰ）∵f（x）=x³-ax²+x+1，

∴g（x）=f′（x）=3x²-2ax+1，

则g′（x）=6x-2a，

令f′（x₀）=g′（x₀），即3x₀²-2ax₀+1=6x₀-2a，

即3x₀²-（2a+6）x₀+2a+1=0，

则判别式△=（2a+6）²-12（2a+1）=4a²+24＞0．

即对任意a∈R，存在x₀∈R，使得f（x），g（x）的图象在x=x₀处的两条切线斜率相等；

（Ⅱ）∵g（x）=3x²-2ax+1，∴要使g（x）在[2，+∞）上单调递增，

则对称轴x=[a/3≤2，即a≤6．

要使f（x）均在[2，+∞）上单调递增，

则f′（x）=3x²-2ax+1≥0，

即2a≤

3x2+1

x]=3x+

1

x恒成立，

∴2a≤（3x+

1

x）_min，

∵设h（x）=3x+

1

x，x∈[2，+∞），

∴h′（x）=3-[1

x2，

当x∈[2，+∞），h′（x）=3-

1

x2＞0，

则h（x）的最小值为h（2）=6-

1/2]=[13/2]，

∴2a≤[13/2]，即a≤[13/4]，

故实数a的范围是（-∞，[13/4]]．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，要求熟练掌握导数的应用．