解题思路:(1)由勾股定理、余切三角函数的定义求得线段AC的长度,通过相似三角形△PBC∽△BAC是对应边成比例求得PC的长度;然后根据图形中线段间的和差关系来求AP的长度;
(2)设⊙O和AC,AB分别相切于点D、E,连接OD、OE.根据切线长定理和勾股定理求y与x的函数解析式;
(3)根据三角形内切圆的定义判定BP是∠CBA的平分线;然后由角平分线性质定理、勾股定理以及平行线截线段成比例分别求得AP、OP的值.
(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,ctgA=[4/3],
∴[AC/BC]=[4/3].
又∵AB=10,AB2=AC2+BC2,
∴AC=8,BC=6.
∵∠PBC=∠A,∠PCB=∠BCA=90°,
∴△PBC∽△BAC,
∴[PC/BC]=[BC/AC],即[PC/6]=[6/8],
∴PC=[9/2],
∴AP=AC-PC=[7/2];
(2)如图1,设⊙O和AC、AB分别相切于点D、E,连接OD、OE.连接AO并延长AO交BC于点H.则AH是∠BAC的平分线.
根据角平分线定理知,[AB/BH]=[AC/CH],即[10/6−CH]=[8/CH],
∴CH=[8/3].
∵AC切⊙O于点D,
∴OD⊥AC;
又∵BC⊥AC,
∴OD∥BC.
在△PBC中,[OD/BC]=[PD/PC],即[y/6]=[PD/8−x],则PD=
y(8−x)
6.
在△ACH中,[OD/HC]=[AD/AC],即[y
8/3]=[PD+x/8]=
y(8−x)
6+x
8,则y=[6x/10+x](0<x<8);
(3)sinA>
点评:
本题考点: 圆的综合题.
考点点评: 本题考查了圆的综合题.其中涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理以及二次函数的定义域.