(2002•上海模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,ctgA=[4/3].

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  • 解题思路:(1)由勾股定理、余切三角函数的定义求得线段AC的长度,通过相似三角形△PBC∽△BAC是对应边成比例求得PC的长度;然后根据图形中线段间的和差关系来求AP的长度;

    (2)设⊙O和AC,AB分别相切于点D、E,连接OD、OE.根据切线长定理和勾股定理求y与x的函数解析式;

    (3)根据三角形内切圆的定义判定BP是∠CBA的平分线;然后由角平分线性质定理、勾股定理以及平行线截线段成比例分别求得AP、OP的值.

    (1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,ctgA=[4/3],

    ∴[AC/BC]=[4/3].

    又∵AB=10,AB2=AC2+BC2

    ∴AC=8,BC=6.

    ∵∠PBC=∠A,∠PCB=∠BCA=90°,

    ∴△PBC∽△BAC,

    ∴[PC/BC]=[BC/AC],即[PC/6]=[6/8],

    ∴PC=[9/2],

    ∴AP=AC-PC=[7/2];

    (2)如图1,设⊙O和AC、AB分别相切于点D、E,连接OD、OE.连接AO并延长AO交BC于点H.则AH是∠BAC的平分线.

    根据角平分线定理知,[AB/BH]=[AC/CH],即[10/6−CH]=[8/CH],

    ∴CH=[8/3].

    ∵AC切⊙O于点D,

    ∴OD⊥AC;

    又∵BC⊥AC,

    ∴OD∥BC.

    在△PBC中,[OD/BC]=[PD/PC],即[y/6]=[PD/8−x],则PD=

    y(8−x)

    6.

    在△ACH中,[OD/HC]=[AD/AC],即[y

    8/3]=[PD+x/8]=

    y(8−x)

    6+x

    8,则y=[6x/10+x](0<x<8);

    (3)sinA>

    点评:

    本题考点: 圆的综合题.

    考点点评: 本题考查了圆的综合题.其中涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理以及二次函数的定义域.