在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD平分∠BAC,过D点的直线PQ交边AC于点P,交边AB的延长线于点Q

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  • (1)当PQ⊥AD时△ADQ与△APD都是等腰直角三角形

    ∴AD/AQ+AD/AP=cos45°+cos45°=√2

    ∴ 1/AQ+1/AP=√2/AD

    (2)如图②,当PQ不与AD垂直时,(1)的结论仍成立

    过P,Q分别作AD和AD的延长线的垂线 垂足分别为F,G

    ∴AE=APcos45°,AG=AQcos45°

    ∴AD-DF=(√2/2)AP,AD+DG=(√2/2)AQ

    ∴AD/AP-DF/AP=√2/2,AD/AQ+DG/AQ=√2/2

    ∴AD/AP+AD/AQ+DG/AQ-DF/AP=√2

    ∵DG/AQ=DG/(√2QG)=(√2/2)*DG/QG=√2/2(1/tan∠QDG)

    DF/AP=DF/(√2PF)=(√2/2)*DF/PF=√2/2(1/tan∠PDF)

    ∴AD/AP+AD/AQ=√2

    ∴1/AQ+1/AP=√2/AD

    (3)AF=APcos30°,AG=AQcos30°

    ∴AD-DF=(√3/2)AP,AD+DG=(√3/2)AQ

    ∴AD/AP-DF/AP=√3/2,AD/AQ+DG/AQ=√3/2

    ∴AD/AP+AD/AQ+DG/AQ-DF/AP=√3

    ∵DG/AQ=DG/(2QG)=(1/2)*DG/QG=1/2(1/tan∠QDG)

    DF/AP=DF/(2PF)=(1/2)*DF/PF=1/2(1/tan∠PDF)

    ∴AD/AP+AD/AQ=√3

    ∴1/AQ+1/AP=√3/AD

    ∴n=√3