解题思路：（1）求出f（x）的导函数，令f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0写出区间形式即为函数f（x）的单调增区间．
（2）由（1）得f（x）在
x∈[
1
e
−1，e−1]
的单调性，进一步求出f（x）min，得到m的范围．
（3）构造函数g（a），通过导数求出g（a）的最大值，由（1）求出fmax=f（2）=11-ln9，令fmax大于g（a）的最大值求出a的范围
（1）函数的定义域为{x|x≠-1}…（1分）
f′(x)＝2(1+x)−
2
x+1＝
2x(x+2)
x+1…（2分）
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1或x＞0
故函数f（x）的单调增区间为（-2，-1）和（0，+∞）
（2）∵当x∈[
1
e−1，0]时f′（x）＜0…（4分）
当x∈[0，e-1]时f′（x）＞0
∴f（x）在[
1
e−1，0]上单调递减，在[0，e-1]上单调递减．…（6分）
f（x）min=f（0）=1-0+2=3
∴m＜3…（8分）
（3）设g(a)＝a+
9
4a+m，g′(a)＝1−
9
4a2＝0⇒a＝
3
2
y=g（a）在a∈(1，
3
2)上单减，在a∈(
3
2，2)上单增…（10分）
由（1）知f（x）在[1，2]上单增，
∴fmax=f（2）=11-ln9…（12分）
又g(1)＝
13
4+m
g(2)＝
25
8+m
g（1）＞g（2）
∴11−ln9≥
13
4+m
∴m≤
31
4−ln9…（14分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 解决不等式恒成立求参数的范围，一般是将参数分离出来，通过构造函数，利用导数求出函数的单调性进一步求出函数的最值，得到参数的范围．