Question

（2014•浦东新区二模）（文）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1=AB=AC=1，∠ABC=[

Answer 1

解题思路：（1）根据AB∥A₁B₁，可得∠A₁MD或其补角是异面直线DM与AB所成的角；

（2）CC₁∥平面MAB．确定D到平面AA₁B₁B的距离与C到平面AA₁B₁B的距离相等，为CA=1，求出△MAB的面积，即可求三棱锥D-MAB的体积．

（1）∵AB∥A₁B₁

∴∠A₁MD或其补角是异面直线DM与AB所成的角．…3分

连接A₁D，则三角形A₁DM为直角三角形，且∠DA1M＝900，A1D＝

5

2，A1M＝

1

2

∴tan∠A1MD＝

A1D

A1M＝

5…5分

∴异面直线DM与AB所成的角为arctan

5．…6分

（2）CC₁∥平面AA₁B₁B即CC₁∥平面MAB（不必证明）…7分

∵CA⊥AB，CA⊥AA₁，AB∩AA₁=A，

∴CA⊥平面AA₁B₁B

∴C到平面AA₁B₁B的距离为CA=1．

∵CC₁∥平面AA₁B₁B，

可知D到平面AA₁B₁B的距离与C到平面AA₁B₁B的距离相等，为CA=1．…9分

又AB∥A₁B₁，∴△MAB的面积S△ABM＝

1

2AB•AA1＝

1

2…11分

∴VD−MAB＝

1

3S△ABM•CA=[1/3•

1

2•AC＝

1

6]．…12分．

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题考查异面直线及其所成的角，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．