Question

已知直线x-2y+1=0与圆(x−a)2+(y−b)2＝15（a，b∈R）有交点，则a2+b2-2a+2b+1的最小值是

Answer 1

解题思路：设 k=a²+b²-2a+2b+1，则 （a-1）²+（b+1）²=k+1，故k+1 表示圆心C（a，b）到点A（1，-1）的距离的平方，因此要求k的最小值，只需求满足题目条件的点C（a，b）与

点A（1，-1）的最短距离AC，AC的最小值等于点A（1，-1）到直线x-2y+1=0的距离减去半径，进而求出AC²的最小值，从而得到k的最小值．

∵圆(x−a)2+(y−b)2＝

1

5的圆心为C（a，b），半径等于

5

5．

设 k=a²+b²-2a+2b+1=（a-1）²+（b+1）²-1，则 （a-1）²+（b+1）²=k+1，

故k+1表示圆心C（a，b）到点A（1，-1）的距离的平方，因此要求k的最小值，只需求满足题目条件的点C（a，b）与点A（1，-1）的最短距离AC．

故当AC和直线x-2y+1=0垂直时，AC最短，此时，AC的最小值等于点A（1，-1）到直线x-2y+1=0的距离减去半径，

即

|1+2+1|

5-

5

5=

3

5

5．

故k+1的最小值为(

3

5

5)2=[9/5]，

∴k 的最小值等于[9/5]-1=[4/5]．

故选B．

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．