(1999•广东)如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,点E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC与底面A

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  • 解题思路:(1)如图,利用∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角,结合直角三角形中的边角关系即可求得截面EAC的面积;

    (2)先证明A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线,再利用直角三角形中勾股定理即可求得线段A1A的长度;

    (3)欲求三棱锥B1-BAC的体积,考虑到则

    V

    B

    1

    −EAC

    =2

    V

    A−EO

    B

    1

    先求三棱锥A-EOB1的体积即可.

    (1)连接BD交AC于O,连接EO

    ∵底面ABCD是正方形,∴DO⊥AC

    又∵ED⊥底面AC,∴EO⊥AC

    ∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角.∴∠EOD=45°.DO=

    2

    2a,AC=

    2a,EO=

    2

    2a•sec45°=a.

    故S△EAC=

    2

    2a2.

    (2)由题设ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,得A1A⊥底面AC,A1A⊥AC,

    又A1A⊥A1B1

    ∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线.∵D1B1∥面EAC,且面D1BD与面EAC交线为EO,

    ∴D1B1∥EO

    又O是DE的中点,∴E是D1D的中点,D1B1=2EO=2a

    ∴D1D=

    D1B2−DB2=

    2a.异面直线A1B1与AC间的距离为

    2a.

    (3)连接B1O,则V

    点评:

    本题考点: 点、线、面间的距离计算;棱柱、棱锥、棱台的体积.

    考点点评: 本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.