解题思路:(1)如图,利用∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角,结合直角三角形中的边角关系即可求得截面EAC的面积;
(2)先证明A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线,再利用直角三角形中勾股定理即可求得线段A1A的长度;
(3)欲求三棱锥B1-BAC的体积,考虑到则
V
B
1
−EAC
=2
V
A−EO
B
1
先求三棱锥A-EOB1的体积即可.
(1)连接BD交AC于O,连接EO
∵底面ABCD是正方形,∴DO⊥AC
又∵ED⊥底面AC,∴EO⊥AC
∴∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角.∴∠EOD=45°.DO=
2
2a,AC=
2a,EO=
2
2a•sec45°=a.
故S△EAC=
2
2a2.
(2)由题设ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,得A1A⊥底面AC,A1A⊥AC,
又A1A⊥A1B1,
∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线.∵D1B1∥面EAC,且面D1BD与面EAC交线为EO,
∴D1B1∥EO
又O是DE的中点,∴E是D1D的中点,D1B1=2EO=2a
∴D1D=
D1B2−DB2=
2a.异面直线A1B1与AC间的距离为
2a.
(3)连接B1O,则V
点评:
本题考点: 点、线、面间的距离计算;棱柱、棱锥、棱台的体积.
考点点评: 本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念,逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力.