一个五位回文数,它是7的倍数;如果将它的十位和个位互换,新得的五位数是11的倍数;如果将它的十位和百位互换,新得的五位数

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  • 解题思路:据题可设这个回文数为abcba,则abcba能被7整除,abcab能被11整除,abbca能被13整除;根据能被7、13、11整除的特征可知:(cab-ab)能被7整除,(cba-ab)能被11整除,(bca-ab)能被13整除.通过观察可知,c=0.则(ba-ab)除以7=9(b-a),(b0a-ab)除以13=9(11b-a).所以,b-a=13,11b-a=13.如果b-a=0,则13=90b,这不可能,剩下只可能ab=18,29,70,81,92之一,经检验只有92符合13|(11b-a),所以原五位数为92029.

    设原数为

    .

    abcba,则有7|

    .

    abcba,11|

    .

    abcab,13|

    .

    abbca.

    也就是7|

    .

    cba-

    .

    ab,11|

    .

    cab-

    .

    ab,13|

    .

    bca-

    .

    ab.

    观察得c=0,7|

    .

    ba-

    .

    ab=9(b-a),13|

    .

    b0a-

    .

    ab=9(11b-a).所以,(b-a) 被7整除,(11b-a)能被13整 除.

    如果b-a=0,则13|90b,这不可能.

    剩下只可能

    .

    ab=18,29,70,81,92之一,经检验只有92符合13|(11b-a),所以原五位数为92029.

    故答案为:92029.

    点评:

    本题考点: 数的整除特征.

    考点点评: 能被7、13、11整除数的特征(实际是一个方法)是这样的:将一个多于4位的整数在百位与千位之间分为两截,形成两个数,左边的数原来的千位、万位成为个位、十位(依次类推). 将这两个新数相减(较大的数减较小的数),所得的差不改变原来数能被7、11、13整除的特性.