椭圆C的方程x²/4+y²=1
(2)
x²/4+y²=1与y=kx+1/2联立得
(4k²+1)x²+4kx-3=0
x=[-2k±√(16k²+3)]/(4k²+1)
∵△AOP与△BOP面积之比为2：1,设A(x1,y1),B(x2,y2)
S△AOP=1/2*OP*|x1|
S△BOP=1/2*OP*|x2|
∴|x1|:|x2|=2:1
[2k+√(16k²+3)]/(4k²+1):[-2k+√(16k²+3)]/(4k²+1)=2:1
或
[2k+√(16k²+3)]/(4k²+1):[-2k+√(16k²+3)]/(4k²+1)=1:2
解得
k=±√15/10
所以直线l的方程：y=±√15/10*x+1/2
(3)
由题意可设椭圆C的方程为x²/(b²+1)+y²/b²=1与y=x+5联立得
(2b²+1)x²+10(b²+1)x+(25-b²)(b²+1)=0
Δ=100(b²+1)²-4(2b²+1)(25-b²)(b²+1)≥0解得
b²(2b²-49)≥0
∴b²≥49/2
该椭圆的长轴长2√(b²+1)≥2√(49/2+1)=√102
所以该椭圆的长轴长的最小值为√102