解题思路：（1）为了求出三角形的面积，我们要作高线．通过特殊角的三角函数求出此高，再利用三角形相似，用t表示出底．这样，这个三角形的面积就可用含t的代数式表示出来了．
（2）首先由两步相似，即△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，证得BF=CH，然后分三种情况：
①0＜t＜6时，②t=6时，③t＞6时；
在上述三种情况中，通过线段间的等量代换，都可证得FH=BC，因此△FHG、△ABC的面积相等，由于△ABC的面积是定值，所以△FHG的面积不变．
（3）分两种情况：①点F在线段BC上，②点F在BC的延长线上；可通过线段间的等量关系，求出BF的值，从而求得t的值．
（1）作EM⊥GA，垂足为M．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°．
∵GA∥BC，
∴∠MAE=60°．
∵AD=AE=4，
∴ME=AE•sin60°=2
3，BD=AB-AD=8，
又GA∥BH，
∴△AGD∽△BFD，
∴[AG/BF]=[AD/BD]=[1/2]，
又∵BF=2t，
∴AG=t．
∴S=
3t．
（2）猜想：不变．
∵AG∥BC，
∴△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，
∴[AG/BF]=[AD/BD]，[AG/CH]=[AE/EC]，
∴[AD/BD]=[AE/EC]，
∴[AG/BF]=[AG/CH]，
∴BF=CH．
情况①：0
∵BF=CH，
∴BF+CF=CH+CF，
即：FH=BC；
情况②：t=6时，有FH=BC；
情况③：t>6时，
∵BF=CH，
∴BF-CF=CH-CF，
即：FH=BC．
∴S△GFH=S△ABC=36
3．
综上所述，当点F在运动过程中，△GFH的面积为36
3cm2．
（3）∵BC=FH，∴BF=CH．
①当点F在线段BC边上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CH．
∵BC=12，∴BF=FC=6，
又∵点F的运动速度为2cm/s，
∴t=3．
∴当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点；
②当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是BH的三等分点，则BC=CF=FH．
∵BC=12，∴CF=12，∴BF=24，
又∵点F的运动速度为2cm/s，
∴t=12．
∴当t=12时，点F和点C是线段BH的三等分点；
综上可知：当t=3s或12s时，点F和点C是线段BH的三等分点．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；平行线的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．
考点点评： 此题主要考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、三角形面积的计算方法等知识，同时还涉及分类讨论的数学思想，难度较大．