Question

若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关

Answer 1

解题思路：（I）设AB为点P（x₀，0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂）（x₁≠x₂），代入抛物线方程相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）．设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x_m，y_m），则可表示出AB的斜率，进而可表示出AB的垂直平分线l的方程，把点P（x₀，0）代入求得x_m=x₀-2．答案可得．

（2）由（Ⅰ）知，弦AB所在直线的方程与抛物线方程联立求得x₁•x₂的值，设点P的“相关弦”AB的弦长为l则根据l²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=整理得l关于x₀的函数，进而根据x₀的范围求得答案．

（I）设AB为点P（x₀，0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是

（x₁，y₁）、（x₂，y₂）（x₁≠x₂），则y²₁=4x₁，y²₂=4x₂，

两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）．因为x₁≠x₂，所以y₁+y₂≠0、

设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（x_m，y_m），则

k=

y1−y2

x1−x2＝

4

y1+y2＝

2

ym．从而AB的垂直平分线l的方程为y−ym＝−

ym

2(x−xm).

又点P（x₀，0）在直线l上，所以−ym＝−

ym

2(x0−xm).

而y_m≠0，于是x_m=x₀-2．故点P（x₀，0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x₀-2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，弦AB所在直线的方程是y-y_m=k（x-x_m），代入y²=4x中，

整理得k²x²+2[k（y_m-kx_m）-2]x+（y_m-kx_m）²=0．（•）

则x₁、x₂是方程的两个实根，且x1•x2＝

(ym−kxm)2

k2.

设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则l²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=4（1+k²）（x_m²-x₁x₂）

=4(1+

4

y2m)[

x2m−

(ym−

2

ymxm)2

4

y2m]

=（4+y_m²）（4x_m-y_m²）=-y_m⁴+4y_m²（x_m-1）+16x_m

=4（x_m+1）²-[y_m²-2（x_m-1）]²=4（x₀-1）²-[y_m²-2（x₀-3）]²．

因为0＜y_m²＜4x_m=4（x_m-2）=4x₀-8，于是设t=y_m²，则t∈（0，4x₀-8）．

记l²=g（t）=-[t-2（x₀-3）]²+4（x₀-1）²．

若x₀＞3，则2（x₀-3）∈（0，4x₀-8），所以当t=2（x₀-3），即y_m²=2（x₀-3）时，

l有最大值2（x₀-1）．

若2＜x₀＜3，则2（x₀-3）≤0，g（t）在区间（0，4x₀-8）上是减函数，

所以0＜l²＜16（x₀-2），l不存在最大值．

综上所述，当x₀＞3时，点P（x₀，0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值

为2（x₀-1）；当2＜x₀≤3时，点P（x₀，0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值．

点评：

本题考点： 抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生综合分析问题和运算能力．