对任意实数x,y,定义运算x⊕y=ax+by+cxy,其中a,b,c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知1

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  • 解题思路:由1⊕2=3,2⊕3=4,建立关于a、b、c的方程组,解出a=-6c-1,b=2c+2,代入x*m=x并移项整理,得x(-6c-2+cm)+(2c+2)m=0,存在有唯一m使该方程成立,建立关于c、m的关系式,解得c=-1、m=4,从而得到x⊕y的表达式,算出3⊕4的值.

    ∵1⊕2=3,2⊕3=4,

    ∴a+2b+2c=3,2a+3b+6c=4,可得a=-6c-1,b=2c+2

    因此,x⊕y=(-6c-1)x+(2c+2)y+cxy,

    ∴x*m=(-6c-1)x+(2c+2)m+cmx

    若x*m=x,则(-6c-1)x+(2c+2)m+cmx=x

    即x(-6c-2+cm)+(2c+2)m=0

    ∵有一个非零常数m,使得∀x∈R,都有x*m=x,

    ∴(2c+2)m=0且-6c-2+cm=0,结合m≠0可得c=-1,m=4

    所以a=5,b=0,c=-1,x⊕y=5x-xy,

    则3⊕4=5×3-3×4=3

    故选D

    点评:

    本题考点: 函数的值.

    考点点评: 本题给出新定义,求x⊕y的表达式,并算出3⊕4的值.着重考查了函数对应法则和方程组有唯一解等知识,属于基础题.