Question

已知函数f(x)=log2(x),x属于〔2,8〕,函数g(x)=f(x)^2-2af(x)+3的最小值为h(a)

Answer 1

1.f(x)值域为[1,3].设t=f(x),g(x)=g(t)=t²-2at+3.定义域[1,3].

考虑g(t)对应的抛物线,对称轴t=a.

当1≤a≤3时,最小值为h(a)=g(a)=3-a².

当a>3时,最小值为h(a)=g(3)=12-6a.

当a3时,h(a)=12-6a单调递减,若m>n>3,则必有h(n)>h(m).由值域(n²,m²)知

h(n)=m²,h(m)=n²,即12-6n=m²,12-6m=n².

即(m-n)(m+n-6)=0.m=n(与题设矛盾舍去),m+n=6(与题设矛盾舍去).

方程无解.