Question

已知：x+y+z=1，x2+y2+z2=2，x3+y3+z3=3，试求：

Answer 1

解题思路：（1）由条件可得 （x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz）=1，求得xy+yz+xz=-[1/2]．再根据 x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），求得xyz的值．

（2）把x²+y²+z²=2平方可得 x⁴+y⁴+z⁴ =4-2（x²•y²+y²•z²+x²•z²）．再根据x²•y²+y²•z²+x²•z²=（xy+yz+xz）²-2xyz（x+y+z），求得 x⁴+y⁴+z⁴的值．

（1）由条件可得 （x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz）=1，

即 1=2+2（xy+yz+xz），∴xy+yz+xz=-[1/2]．

再根据 x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），

即3-3xyz=2+[1/2]，∴xyz=[1/6]．

（2）由题意可得 （x²+y²+z²）²=x⁴+y⁴+z⁴+2x²•y²+2y²•z²+2x²•z²=4，

∴x⁴+y⁴+z⁴ =4-2（x²•y²+y²•z²+x²•z²）．

由于（x²•y²+y²•z²+x²•z²）=（xy+yz+xz）²-2xyz（x+y+z）=(−

1

2)2-2×[1/6]×1=-[1/12]，

∴x⁴+y⁴+z⁴ =4-2×（-[1/12]）=[25/6]．

点评：

本题考点： 二维形式的柯西不等式．

考点点评： 本题主要考查立方公式、完全平方公式的应用，转化变形是本题的难点，解答本题的关键是求出xy+yz+xz和xyz的值，属于中档题．