证法一
（归纳猜想法）：
1、N=1时,1=1（1+1）（2×1+1）/6=1
2、N=2时,1+4=2（2+1）（2×2+1）/6=5
3、设N=x时,公式成立,即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时,
1+4+9+…+x2+（x+1）2=x(x+1)(2x+1)/6+（x+1）2
=（x+1）[2（x2）+x+6（x+1）]/6
=（x+1）[2（x2）+7x+6]/6
=（x+1）（2x+3）（x+2）/6
=（x+1）[（x+1）+1][2（x+1）+1]/6
也满足公式
4、综上所述,平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立,得证.
证法二
(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1） ：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
.
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加,得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6