Question

微分方程y″-y=ex+1的一个特解应具有形式（式中a、b为常数）（　　）A. aex+b

Answer 1

解题思路：利用微分方程解的结构，可以直接写出特解的形式．也可以对四个选项逐一进行验证，即：将四个选项逐一代入y″-y，判断：是否存在适当的参数a、b，使得其结果为 e^x+1．

【解法1】逐一进行验证．

因为 （ae^x+b）″-（ae^x+b）=ae^x-（ae^x+b）=-b，故排除A．

因为 （axe^x+b）′=axe^x+ae^x，（axe^x+b）″=axe^x+2ae^x，所以 （axe^x+ae^x）″-（axe^x+b）=（axe^x+2ae^x）-（axe^x+b）=2ae^x-b，选取a=

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2，b=-1即可．故正确选项为 B．

因为 （ae^x+bx）′=ae^x+b，（ae^x+bx）″=ae^x，所以 （ae^x+bx）″-（ae^x+bx）=ae^x-（ae^x+bx）=-bx，故排除C．

因为 （axe^x+bx）′=axe^x+ae^x+b，（axe^x+bx）″=axe^x+2ae^x，所以，（axe^x+bx）″-（axe^x+bx）=（axe^x+2ae^x）-（axe^x+bx）=2ae^x-bx，故排除D．

故选：B．

【解法2】利用微分方程的解的结构．

微分的性质可知，若 y₁=y₁（x） 为微分方程 y″-y=e^x的特解，y₂=y₂（x） 为微分方程 y″-y=1 的特解，则 y=y₁（x）+y₂（x） 为 y″-y=e^x+1 的特解．

齐次方程 y″-y=0 的特征方程为 λ²-1=0，特征根为 1，-1．

对于微分方程 y″-y=e^x，由于 λ=1 是特征方程 λ²-1=0的单根，故其一个特解 y₁（x） 具有 y₁（x）=axe^x的形式．

对于微分方程 y″-y=1，由于 λ=0 不是特征方程 λ²-1=0的根，故其一个特解 y₂（x） 具有 y₂（x）=b的形式．

综上，题中微分方程的一个特解具有 y=y₁（x）+y₂（x）=axe^x+b的形式．

故选：B．

点评：

本题考点： ["微分方程的解的结构"," 微分方程的显式解、隐式解、通解和特解"]

考点点评： 本题主要考察了微分方程解的概念、解的结构、特解的待定系数法．对于这类题目，可以逐一进行验证．也可以运用相应知识，直接进行计算，节省做题时间．