已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3,

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  • 解题思路:(Ⅰ)由f(x)=xlnx,知f′(x)=1+lnx,利用导数的正负,可得函数f(x)的单调区间,从而可求函数的最小值;

    (Ⅱ)由对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,知2xlnx≥-x2+ax-3,分离参数,求最值,由此能够求出实数a的取值范围.

    (Ⅰ)∵f(x)=xlnx,

    ∴f′(x)=1+lnx,x>0,

    由f′(x)=1+lnx<0,可得0<x<[1/e],f′(x)=1+lnx>0,可得x>[1/e],

    ∴函数f(x)的减区间为(0,[1/e]),增区间为([1/e],+∞).

    ∴x=[1/e]时,函数取得最小值-[1/e];

    (Ⅱ)∵对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,

    ∴2xlnx≥-x2+ax-3,

    ∴a≤2lnx+x+[3/x],

    令h(x)=2lnx+x+[3/x],

    则h′(x)=

    (x+3)(x−1)

    x2

    当x>1时,h(x)是增函数,

    当0<x<1时,h(x)是减函数,

    ∴a≤h(1)=4.

    即实数a的取值范围是(-∞,4].

    点评:

    本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用.

    考点点评: 本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法,解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用.