Question

已知等轴双曲线x^2-y^2=a^2及其上一点P,求证：P到它两个焦点的距离的积等于P到双曲线中心距离的平方

Answer 1

设P点坐标为(x,y)

则P到原点的距离为√(x^2-y^2)=√(2x^2-a^2)

∴P到原点的距离的平方为2x^2-a^2

化简该双曲线方程,得：x^2/a^2-y^2/a^2=1

根据双曲线的交半径公式,得：

两交半径的乘积为(ex-a)(ex+a)=(ex)^2-a^2

∵c^2=a^2+a^2=2a^2

∴c=(√2)a

e=c/a=√2

∴两交半径乘积为2x^2-a^2

∴P到它两个焦点的距离的积等于p到双曲线中心距离的平方