解题思路：设这个自然数为x，则x+1是2的倍数，即x+1=2k，它的2倍加上1是3的倍数，即2x+1=3m，它的3倍加上1是5的倍数，即3x+1=5n，而要是这样的数最小，根据题意列出不定方程，得出未知数的关系，分别让n=1、2、3、4…得出符合条件的x的值，求出x的值即可．
设这个自然数为x，则x+1=2k，2x+1=3m，3x+1=5n，
从上面的式子看出x是个奇数，设n=2时，x=3，此时2×3+1倍数3的倍数，所以不合适；
n=5时，x=8，8是偶数，不行，所以n=8，x=13，而13×2+1=27是3的倍数，13+1=14是2的倍数；
所以这样的自然数中最小的一个是13；
故答案为：13．
点评：
本题考点： 最大与最小．
考点点评： 本题考查的是不定方程的应用，根据题意得出不定方程是解答此题的关键．