已知公差d为正数的等差数列{an}和公比为q（q＞ - 知识问答

已知公差d为正数的等差数列{an}和公比为q（q＞1）的等比数列{bn}．

1个回答

解题思路：（1）由题设条件知
a
n
+d
a
n
≤q
，再由a_n＞0，知d≤a₁（q-1）．
（2）由题设条件知a_n=a₃+（n-3）d=2n-5，b_n=b₃q^n-3=2^n-3．再由
2
a
n+p
a
n
≤
b
n+1
+p+8
b
n
，知
2[2(n+p)−5]
2n−5
≤
2
n−2
+p+8
2
n−3
，由此入手能够推导出使不等式
2
a
n+p
a
n
≤
b
n+1
+p+8
b
n
成立的自然数n恰有4个的正整数p值为3．
（1）∵
an+1
an≤
bn+1
bn，∴
an+d
an≤q，∵a_n＞0，
∴d≤a_n（q-1）对一切n∈N*恒成立．∴d≤a_n（q-1）的最小值，又d＞0，q＞1，
∴d≤a₁（q-1）．
（2）∵1，2，3，4，5这5个数中成等比且公比q＞1的三数只能为1，2，4
∴只能是b₃=1，b₄=2，b₅=4，a₃=1，a₄=3，a₅=5，
∴a_n=a₃+（n-3）d=2n-5，b_n=b₃q^n-3=2^n-3．
∵
2an+p
an≤
bn+1+p+8
bn，∴
2[2(n+p)−5]
2n−5≤
2n−2+p+8
2n−3，
∴2+
4p
2n−5≤2+
p+8
2n−3，∴[4p/2n−5≤
p+8
2n−3]．∵p＞0，
∴n=1，2显然成立
当n≥3时，∴[4p/p+8≤
2n−5
2n−3]，p≤
8(2n−5)
2n−1−2n+5＝
8
2n−1
2n−5−1∴当n＝3时，p≤
8
3＝3
2
3，当n＝4时，p≤4
4
5，当n＝5时，p≤3
7
11，当n＝6时，p≤2
6
25
又设Cn＝
2n−1
2n−5，则由
Cn+1
Cn＝
点评：
本题考点：数列的应用．
考点点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

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