Question

过抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点F作斜率为k的动直线l与E交于A,B两点,E在A,B两点处的切线交于点

Answer 1

（1）

F(0,p/2)

k=0时,则A为(p,p/2) B为(-p,p/2)

设M为(m,m²/2p)

则AM斜率为 (m²/2p-p/2)/(m-p)

BM斜率为 (m²/2p-p/2)/(m+p)

斜率之差的绝对值为

|(m²/2p-p/2)/(m+p)-(m²/2p-p/2)/(m-p)|

=1

（2）

直线AB为y=kx+p/2

设A(x1,y1) B(x2,y2)

A点处切线斜率为y'=x1/p

则切线为2py-2x1x+x1²=0

同理B点处切线为2py-2x2x+x2²=0

联立求的P((x1+x2)/2,x1x2/2p)

联立AB和抛物线：

x²-2pkx-p²=0

x1+x2=2pk,x1x2=-p²

则x1x2/2p=-p²/2p=-p/2

即P点的纵坐标为定值-p/2

即P点在定直线y=-p/2上