Question

大一数学：求微分方程x*dy/dx+x+sin(x+y)=0的通解 我数学很差,麻烦步骤详细点 谢谢

Answer 1

不难看出,方程中y‘+1是y+x对x的导函数,那么可以以此为突破口进行求解.

设y+x=g,g也是x的函数

原方程变为x*g'+sing=0

即dg/sing=-dx/x,对两边同时做不定积分

-dx/x的不定积分,结果为-lnx

积分(dg/sing)=积分(sing*dg/sing^2)=积分(-dcosg/(1-cosg^2))=1/2*(ln(1+cosg)/(1-cosg))

于是方程变为1/2*(ln(1+cosg)/(1-cosg))=-lnx+C,C为不定积分常数

带入y+x=g,则可以求出原函数为1/2*(ln(1+cos(y+x))/(1-cos(y+x)))=-lnx+C,可以化简