F1(-3,0),F2(3,0).
设所求的椭圆长轴为2a,P(x,y),则
2a=√[(x+3)^2+y^2]+√[(x-3)^2+y^2]
=√[(-x-3)^2+y^2]+√[y^2+(-x+3)^2]
≥√[(-x-3+y)^2+(y-x+3)^2](x<-3,y>0)
=√[(9-3)^2+(9+3)^2]
=6√5.
当且仅当(-x-3)(-x+3)=y^2,即x=-5,y=4时,“=”成立.
(1)当p的坐标是(-5,4)时,所求椭圆长轴最短.
(2)a=3√5,c=3,∴b^2=36.
所求椭圆方程是:x^2/45+y^2/36=1.
说明:上述解法用到不等式公式求最值,这个不等式是:
√(a^2+b^2)+√(c^+d^2)≥√(a+c)^2+(b+d)^2.
其中a,b,c,d>0,当且仅当ad=bc时“=”成立.
注意要调整好a,b,c,d的顺序,保证右边a+c和b+d都是定值时,才可以达到最值.
仅提示方法,计算请楼主自己完成:
先求出F1(-3,0)关于L的对称点M的坐标,再求出直线MF2与直线L的交点P(-5,4)即获解.