在直线L;X-Y+9=0上取一点P,过点P以椭圆X^2/12+Y^2/3=1的焦点为焦点作椭圆.

1个回答

  • F1(-3,0),F2(3,0).

    设所求的椭圆长轴为2a,P(x,y),则

    2a=√[(x+3)^2+y^2]+√[(x-3)^2+y^2]

    =√[(-x-3)^2+y^2]+√[y^2+(-x+3)^2]

    ≥√[(-x-3+y)^2+(y-x+3)^2](x<-3,y>0)

    =√[(9-3)^2+(9+3)^2]

    =6√5.

    当且仅当(-x-3)(-x+3)=y^2,即x=-5,y=4时,“=”成立.

    (1)当p的坐标是(-5,4)时,所求椭圆长轴最短.

    (2)a=3√5,c=3,∴b^2=36.

    所求椭圆方程是:x^2/45+y^2/36=1.

    说明:上述解法用到不等式公式求最值,这个不等式是:

    √(a^2+b^2)+√(c^+d^2)≥√(a+c)^2+(b+d)^2.

    其中a,b,c,d>0,当且仅当ad=bc时“=”成立.

    注意要调整好a,b,c,d的顺序,保证右边a+c和b+d都是定值时,才可以达到最值.

    仅提示方法,计算请楼主自己完成:

    先求出F1(-3,0)关于L的对称点M的坐标,再求出直线MF2与直线L的交点P(-5,4)即获解.