Question

如图，棱长为a的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，E、F分别是B 1 C 1 、C 1 D 1 的中点

Answer 1

（1）证明：如答图所示，连接B ₁D ₁，

在△C ₁B ₁D ₁中，C ₁E=EB ₁，C ₁F=FD ₁，

∴EF ∥ B ₁D ₁，且EF=

1

2 B ₁D ₁，

又A ₁A

∥

. B ₁B，A ₁A

∥

. D ₁D，∴B ₁B

∥

. D ₁D，

∴四边形BB ₁D ₁D是平行四边形．

∴B ₁D ₁∥ BD，EF ∥ BD，

∴E、F、D、B四点共面

（2）由AB=a，知BD=B ₁D ₁=

2 a，EF=

2

2 a，

DF=BE=

B

B 21 + B 1 E 2 =

a 2 + (

a

2 ) 2 =

5

2 a ，

过F作FH⊥DB于H，则DH=

DB-EF

2 =

2

4 a

∴FH=

D F 2 -D H 2 =

5

4 a 2 -

2

16 a 2 =

18

16 a 2 =

3

2

4 a

四边形的面积为 S EFBD =

1

2 (EF+BD)×FH=

1

2 (

2

2 a+

2 a)×

3

2

4 a =

1

2 ×

3

2

2 ×

3

2

4 a 2 =

9

8 a 2