Question

线性代数问题 若A,B,A + B 都可逆 证明 A^-1 + B^-1可逆,且逆为A*(A+B)^-1*B

Answer 1

证明 因为B( A^-1 + B^-1)A=A+B 且A ,B,A+B都可逆

所以 A^-1 + B^-1=B^-1( A+B) A^-1

而A^-1,(A +B) ,B^-1都可逆,

所以乘积也可逆,所以A^-1 + B^-1也可逆

且（A^-1 + B^-1)^-1=(B^-1( A+B) A^-1)^-1=A (A+B)^-1 B

证毕

后面一个简单

因为B( A^-1 + B^-1)A=A+B

所以（A^-1 + B^-1)^-1=(B^-1( A+B) A^-1)^-1=A (A+B)^-1 B

因为A( A^-1 + B^-1)B=B+A=A+B

所以（A^-1 + B^-1)^-1=(A^-1( A+B) B^-1)^-1=B (A+B)^-1 A

因为一个矩阵的逆是唯一的.

所以A*(A+B)^-1*B=B*(A+B)^-1*A

不懂Q我：1054 7212 46

旺我 ; 占廖诚888