Question

设a,b,c,d都是实数,如果a^2+b^2=2 c^2+d^2=2 ac=bd 证明a^2+c^2=2 b^2+d^2

Answer 1

证明 [证充分必要条件],注意到恒等式:

(a^2+b^2-2)^2+( c^2+d^2-2)^2+2(ac-bd)^2

=a^4+b^4+c^4+d^4+2(a^2*b^2+c^2*d^2+a^2*c^2+b^2*d^2)-4(a^2+b^2+c^2+d^2)-4abcd+8

=(a^2+c^2-2)^2+( b^2+d^2-2)^2+2(ab-cd)^2

因为 a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd,则有

(a^2+c^2-2)^2+( b^2+d^2-2)^2+2(ab-cd)^2=0,

由于a,b,c,d都是实数,故(a^2+c^2-2),( b^2+d^2-2),(ab-cd) 也都是实数.

从而得:a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=cd,反过来证明也一样.证毕.