Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．

Answer 1

解题思路：（I）证AB垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直⇒面面垂直；（II）先求得三棱锥B1-ABC的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解．

（Ⅰ）证明：由侧面AA₁B₁B为正方形，知AB⊥BB₁．

又∵AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，∴AB⊥平面BB₁C₁C，

又∵AB⊂平面AA₁B₁B，∴平面AA₁B₁B⊥BB₁C₁C．

（Ⅱ）由题意，CB=CB₁，设O是BB₁的中点，连接CO，则CO⊥BB₁．

由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB₁B₁A，且CO=

3

2BC=

3

2AB=

3．

连接AB₁，则VC−ABB1=[1/3]S△ABB1•CO=[1/6]×AB²•CO=

2

3

3．

∵VB1−ABC=VC−AA1B1=VC−A1B1C1=[1/3]VABC−A1B1C1=

2

3

3，

∴V_三棱柱=2

3．

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查面面垂直的判定及空间几何体的体积．