Question

如图，已知抛物线L1：y1=[3/4]x2，平移后经过点A（-1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．

Answer 1

解题思路：（1）由于二次函数的二次项系数表示的是抛物线的开口大小和开口方向，在平移过程中，抛物线的形状没有发生变化，所以二次项系数仍为34，已知了平移后的抛物线经过x轴上的A、B两点，可由待定系数法求出平移后的抛物线解析式；（2）由坐标轴上点的特征可得C（0，-3），根据两点间的距离公式得到AB，BC，AC的值，再根据等腰三角形的判定即可求解；（3）可设P（a，34a2-94a-3），D（a，34a2），根据PD=2OC，列出方程即可求解．

（1）设抛物线L₂的解析式为y=[3/4]x²+bx+c，经过点A（-1，0），B（4，0），根据题意，得

3

4−b+c＝0

12+4b+c＝0，

解得

b＝−

9

4

c＝−3

∴抛物线L₂的解析式为y=[3/4]x²-[9/4]x-3．

（2）△ABC的形状是等腰三角形．

理由：根据题意，得C（0，-3），

∵AB=4-（-1）=5，BC=

42+32=5，AC=

12+32=

10，

∴△ABC的形状是等腰三角形．

（3）存在PD=2OC．

设P（a，[3/4]a²-[9/4]a-3），D（a，[3/4]a²），

根据题意，得PD=|[3/4]a²-[9/4]a-3-[3/4]a²|=|[9/4]a+3|，OC=3，

当|[9/4a+3|=6时，解得a₁=

4

3]，a₂=-4．

∴P₁（[4/3]，[14/3]），P₂（-4，18）．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了二次函数综合题，涉及了二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定以及两点间的距离等知识，综合性较强，难度中等．