1.设a,b,c都属于正实数,求证根号下(a的平方+b的平方)+根号下(b的平方+c的平方)+根号下(c的平方+a的平方

1个回答

  • 题目是:根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)≥(根号2)*根号(a+b+c)吧!

    因为(a-b)^2 >=0 ,所以a^2+b^2 >=2ab ,

    两边同加a^2+b^2得:2*(a^2+b^2) >=a^2+2ab+b^2

    所以 2*(a^2+b^2) >=(a+b)^2

    因为 a>0,b>0

    所以将上式两边同开方得:(根号2)*根号(a^2+b^2) >=a+b

    即 根号(a^2+b^2) >=a/(根号2)+b/(根号2)

    同理 根号(b^2+c^2) >=b/(根号2)+c/(根号2)

    同理 根号(c^2+a^2) >=c/(根号2)+a/(根号2)

    以上三式相加得:

    根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=2*[a/(根号2)+b/(根号2)+c/(根号2)]

    即 根号(a^2+b^2)+根号(b^2+c^2)+根号(c^2+a^2)>=(根号2)*(a+b+c)

    2.

    (a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2

    =4+a^2+b^2+1/(a^2)+1/(b^2)

    =4+(a^2+b^2)[1+1/(a^2*b^2)]

    =4+(1-2ab)[1+(1/ab)^2]

    显然,随着ab值的增大,值会减小;

    即ab取最大值时,(a+ 1/a)^2+(b+ 1/b)^2有最小值;

    2a