Question

如何推导前 n项自然数的平方和(不包括0)

Answer 1

前n个正整数的平方和公式的推导

已知,(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1

所以(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

依次有n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)+1

(n-2)^3-(n-3)^3=3(n-3)^2+3(n-3)+1

………………………………

3^3-2^3=3*2^2+3*2+1

2^3-1^3=3*1^2+3*1+1

以上的n个等式的两边分别相加得到：(n+3)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+……+n^2)