解题思路：（1）根据an+2=（1+cos2nπ/2]）an+sin2[nπ/2]，把a1和a2代入即可求得a3，a4，先看当n=2k-1（k∈N*）时，整理得a2k+1-a2k-1=1进而可判断数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列；n=2k（k∈N*）时，整理得a2k+2=2a2k进而可判断数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，最后综合可得答案．
（2）把（1）中求得an代入bn中可知数列{bn}是由等比和等差数列构成，因而可用错位相减法求和，得到数列的求和公式Sn=2-[n+22n
．．要证明当n≥6时，|Sn-2|＜
1/n]成立，只需证明当n≥6时，
n(n+2)
2
n
＜1成立．用数学归纳法，先看当n=6时求得
n(n+2)
2
n
＜1，再假设当n=k（k≥6）时不等式成立，通过n=k+1时，等式亦成立，进而证明结论．
（1）因为a1=1，a2=2，
所以a3=（1+cos2[π/2]）a1+sin2[π/2]=a1+1=2，
a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2
(2k−1)π
2]a2k-1+sin2
(2k−1)π
2=a2k-1+1，即a2k+1-a2k-1=1．
所以数列{a2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，
因此a2k-1=k．
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2[2kπ/2]）a2k+sin2[2kπ/2]=2a2k．
所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，
因此a2k=2k．
故数列{an}的通项公式为
an=
n+1
2，n＝2k−1(k∈N*)
2
n
2，n＝2k(k∈N*)
（2）由（1）知，bn=
a2n−1
a2n=[n
2n，
所以Sn=
1/2]+[2
22+
3
23+…+
n
2n，①
1/2]Sn=[1
22+
2
点评：
本题考点： 数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和．
考点点评： 本题主要考查了数列的递推式．数列的递推式常用来解决数列求通项公式等问题，有时要注意数列中的奇数项和偶数项的不同．
1年前
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