Question

已知函数f（x）=x-[1/x+1]，g（x）=x2-2ax+4，若∀x1∈[0，1]，∃x2∈[1，2]，使f（x1）

Answer 1

解题思路：先用导数研究出函数f（x）的单调性，得出其在区间[0，1]上的值域，f（x）的最小值是f（0）=-1．然后将题中“若∀x₁∈[0，1]∃x_∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）”转化为f（x₁）的最小值大于或等于g（x₂）在区间[1，2]能够成立，说明g（x₂）≤-1在区间[1，2]上有解，注意到自变量的正数特征，变形为

x

2

+

5

x

2

≤2a

，在区间[1，2]上至少有一个实数解，即

x

2

+

5

x

2

在区间[1，2]上的最小值小于或等于2a，问题迎刃解．

函数f（x）=x-[1/x+1]的导数f/(x)=1+

1

(x+1)2＞0，函数f（x）在[0，1]上为增函数，

因此若∀x₁∈[0，1]，则f（0）=-1≤f（x₁）≤f（1）=[1/2]

原问题转化为∃x_2∈[1，2]，使f（0）=-1≥g（x₂），

即-1≥x₂²-2ax₂+4，在区间[1，2]上能够成立

变形为 x2+

5

x2≤2a，在区间[1，2]上至少有一个实数解

而x2+

5

x2∈[

9

2，6]，所以[9/2≤2a，可得a≥

9

4]

故答案为[[9/4]，+∞）

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题以函数为载体，既考查了不等式恒成立的问题，又考查了不等式解集非空的问题．采用变量分离避免讨论，解化运算，是解决本题的捷径．